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Campo magnetico (e velocità indotta da un vortice) lungo una curva generica con MATLAB

Premessa: la lettura di questo articolo potrebbe risultare molto confusa. È talmente specifico che, molto probabilmente, servirà a una persona su un milione. In realtà servirà molto più a me per fissare certe cose che a qualcun altro…

L’induzione magnetica (e la velocità indotta da un vortice, in aerodinamica) è descritta dalla legge di Biot-Savart:

\Gamma =\frac{k}{4\pi}\oint_{C} \frac{dL\times R}{|R^3|}

Dove k è una costante moltiplicativa proporzionale all’intensità (della corrente o del vortice). Per questa legge esistono diverse soluzioni analitiche, per i casi più semplici e anche più frequenti: filo rettilineo di lunghezza infinita, solenoide, …

Potrebbe essere interessante osservare il campo magnetico anche per un filo di una forma più strana, come una spirale a passo non costante, o una forma geometrica complessa. Soluzioni analitiche per forme geometriche complesse non ne esistono ed è necessario integrare numericamente la legge di Biot-Savart.
Concettualmente è molto semplice: divido il filo in piccoli intervalli finiti di lunghezza \Delta L, per ognuno dei quali calcolo l’induzione \Delta \Gamma e infine ne faccio una sommatoria:

\Delta\Gamma=\frac{k}{4\pi}\frac{\Delta L\times R}{|R^3|}
\Gamma = \sum_i \Delta\Gamma_i

Ecco cosa fa il codice che ho scritto: si assegna un dominio di calcolo (non troppo grande, altrimenti ci impiega un’eternità!) e si fa un ciclo per ogni punto del dominio (tre cicli for su i, jk). Per ognuno di questi punti, si discretizza la curva in intervalli di ampiezza ds e si calcola l’induzione di ogni elementino sul punto del dominio in questione, sommando i vari contributi (componenti UV, W).

campo

Non è il massimo dal punto di vista dalle performance, è stata la prima cosa che mi è venuta in mente e non ho neanche pensato se fosse la migliore. Funziona e basta 😀

Un unico appunto lo vorrei fare sull’utilizzo delle meshgrid e del prodotto vettoriale. Il campo magnetico (campo di moto) è descritto da una serie di vettori tridimensionali. Questi vettori dipendono dal punto di applicazione, o meglio, ogni punto del campo ha un suo vettore di induzione, che ne descrive direzione, intensità e verso. In MATLAB, ogni cosa è una matrice e non fanno eccezione i campi vettoriali. Il problema è questo: ogni vettore ha tre componenti, ognuna delle quali è contenuta in una matrice NxNxN. Ho bisogno di tre matrici NxNxN per descrivere il campo vettoriale. Come faccio però a capire in quali punti sono applicati questi vettori?
Qui interviene la funzione meshgrid, che genera una matrice contenente le coordinate dei punti in cui voglio che siano applicati i vettori. Quindi avrò: tre matrici U, V e W contenenti le componenti lungo gli assi xyz dell’induzione e tre matrici XY e Z contenenti i punti di applicazione dei vettori. Quando si fa il calcolo del \Delta\Gamma di Biot-Savart bisogna tenere presente quanto detto: per il calcolo del vettore R dovrò considerare le matrici XYZ, dato che mi interessa il punto di applicazione del vettore.

Forse era una precisazione banale. Forse no.

Considerazioni aerodinamiche

Il codice permette di integrare la legge di Biot-Savart, che è nota nella fisica per l’induzione di un campo magnetico. In aerodinamica viene invece utilizzata per calcolare la velocità indotta da un vortice. È interessante andare a calcolare il campo di moto nella scia di un’ala utilizzando questo codice.

La Teoria del Filetto Portante di Prandtl ci spiega come sia possibile modellare il campo di moto attorno ad un’ala mediante un sistema di vortici. La schematizzazione più semplice di questo sistema di vortici è il cosiddetto vortice a staffa, di cui rubo senza pietà un’immagine da Google:

vortice_staffa

Inserendo nel codice i punti di un vortice a staffa:

L = [-1 6 0;
     -1 0 0;
      1 0 0;
      1 6 0];

Si ottiene un campo di moto di questo tipo:

linee_campo

Non è molto preciso perché è stato calcolato su un dominio di 20 punti, ma rende comunque l’idea.
Se a questo campo di moto sommiamo una corrente uniforme, otteniamo il campo di moto attorno a un’ala:

vortici1

trittico

Il confronto con un’immagine ottenuta per via sperimentale (linee di fumo) mostra la validità di questa teoria:

vortici_ala

Download dell’animazione in 3D (.avi, 4.9 MB)

Un’altra figura interessante che è possibile ottenere è quella relativa al downwash:

downwash

L’immagine è stata ottenuta utilizzando la funzione surf alla componente verticale della velocità.

Da questa figura si possono notare due cose: la prima è che il vortice parallelo all’ala (vortice aderente) produce un upwash sulla corrente incidente, la seconda è che il downwash è dovuto essenzialmente all’effetto dei vortici laterali (vortici liberi).

Tutte le figure delle linee di corrente sono state ottenute utilizzando la funzione streamtube, che prende in input le mesh, il campo di moto e tre vettori/matrici contenenti i punti da cui devono partire le linee di corrente.

Potete scaricare il codice dal seguente link, o dal file exchange di MATLAB.

Download biot_savart.zip
Download da MATLAB file exchange


PyFoil, disegna profili alari con il cellulare

PyFoil è un semplice programmino scritto da me in Python che permette di disegnare profili NACA a 4 e 5 cifre, direttamente dal cellulare.

Per poterlo utilizzare è necessario installare il software Python for S60 sul proprio cellulare, che è reperibile a questo indirizzo.

Ecco alcuni screenshot del programma:


Segue il codice dell’applicazione.

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Un rudimentale tubo di Pitot

Durante gli studi di ingegneria aerospaziale, ho incontrato questo simpatico strumento che è il tubo di Pitot.
La sua funzione, che è ampiamente descritta su Wikipedia, è quella di misurare la velocità di un fluido.

Il tubo di Pitot è costituito da un tubo, di una generica lunghezza, disposto parallelamente alla direzione del fluido (in particolare, al vettore velocità). Un’estremità del tubo è aperta, per permettere l’ingresso del fluido, mentre l’altra estremità è collegata ad un manometro. I manometri che si possono utilizzare sono i più disparati, quello che ho utilizzato io sfrutta la Legge di Stevino.

p_{sta}=-\rho g \Delta z\\\\p_{sta}:\text{Pressione statica}\\\rho :\text{Densita

Com’è possibile vedere nell’immagine qui sopra, il manometro e il tubo di Pitot non sono altro che un semplice tubo pieno d’acqua, collegati ad una scala millimetrata che permette di misurare il dislivello della colonna d’acqua. In condizioni iniziali, il livello dell’acqua segnato è 13.8 mm.
(Attenzione: la scala millimetrata posta accanto al manometro serve per misurare le variazioni di quota dell’acqua, non l’altezza assoluta. È questo infatti il dato necessario per calcolare la pressione.)

Ho colorato l’acqua con dell’inchiostro nero, in modo da poter visualizzarne meglio il dislivello all’interno nel tubo. L’inchiostro non ha la stessa densità dell’acqua, ma data la natura qualitativa di questo esperimento, la variazione di densità dovuta alla sua presenza è del tutto trascurabile.

Il tubo di Pitot si trova in genere sugli aerei e misura la velocità dell’aereo rispetto all’aria. Data la difficoltà nel testare il tubo di Pitot in condizioni di moto rispetto al fluido, il modo più semplice per verificarne il funzionamento è quello di mettere in moto l’aria rispetto allo strumento, tenendo quindi fermo il tubo. Ciò che conta è infatti il moto relativo tra il fluido e il corpo.

L’oggetto che ho utilizzato per mettere in moto l’aria è un semplice phon.
Indirizzando infatti il getto del phon parallelamente al tubo, è possibile misurare la velocità dell’aria che esce da questo.

Come è possibile vedere dalle immagini, la colonna d’acqua nel tubo subisce una variazione di quota di circa 1.9 cm.
Per la Legge di Stevino, la pressione legata a questa variazione di quota è:
p_{sta}=-\rho g \Delta z=-(1000 kg/m^3)(-9.81 m/s^2)(0.019 m)=186 Pa

L’aria che entra all’interno del tubo, alla velocità incognita V, genera una pressione dinamica che è:
p_\text{din}=\frac12\rho V^2\\p_\text{din}:\text{Pressione dinamica}\\\rho:\text{Densita

Questa pressione va a bilanciare la pressione statica che abbiamo trovato con la Legge di Stevino, quindi:
p_\text{sta}=p_\text{din}=186 Pa

Dall’espressione della pressione dinamica, ormai nota, è possibile ricavare la velocità del fluido:
V=\sqrt{\frac{2p}\rho}=\sqrt{\frac{2\cdot 186 Pa}{1.225 kg/m^3}}=17.4 m/s

La velocità dell’aria che esce dal mio phon è di circa 17.4 m/s (o anche 62.6 km/h). Come valore della densità dell’aria ho utilizzato quello della tabella disponbile su Wikipedia, alla gelida temperatura del mio garage di 15°C.

È importante notare che la densità utilizzata nella Legge di Stevino è la densità dell’acqua, mentre la densità utilizzata nell’espressione della pressione dinamica è la densità dell’aria.

Volendo approfondire un po’ l’argomento, bisogna tenere presente il fatto che il tubo di Pitot non misura soltanto la pressione dinamica, ma misura la pressione totale, che per il Teorema di Bernoulli è:
p_\text{tot}=p_\text{stat}+p_\text{din}=p_\text{stat}+\frac12\rho V^2

Per conoscere quindi la pressione dinamica, occorrerebbe conoscere anche la pressione statica attorno al tubo, che viene misurata utilizzando una seconda presa d’aria sul collo del tubo e va sottratta alla pressione totale. Però, nelle condizioni in cui ho effettuato l’esperimento, il manometro utilizzato è soggetto alla stessa pressione statica a cui è soggetto il tubo di Pitot, che è la pressione atmosferica. Quindi il valore misurato tramite il dislivello della colonna d’acqua è già la pressione dinamica.

Com’è infatti possibile vedere da questa immagine, la pressione totale misurata tramite la presa d’aria b, viene confrontata con la pressione statica misurata dalle due prese d’aria a. Il dislivello h misurerà precisamente la pressione dinamica.